Introducción a la Relatividad General

Este artículo está orientado a proporcionar una introducción general y accesible. Para el artículo principal, véase Relatividad General

Dibujo artístico acerca de una prueba realizada con alta precisión por la sonda Cassini al enviar señales a la tierra y al describir la trayectoria predicha.

La relatividad general (RG) es una teoría de la gravitación que fue desarrollada por Albert Einstein entre 1907 y 1915. De acuerdo a la relatividad general, la atracción gravitacional observada entre masas se debe a una curvatura del espacio-tiempo y por tanto un reflejo de la geometría del mismo y no a fuerzas a distancia.

Introducción

Antes de la llegada de la teoría de la relatividad, la ley de la Gravitación Universal de Newton de 1686 había sido aceptada por más de doscientos años como una descripción válida de la fuerza de la gravedad. En ese modelo, la gravedad se consideraba el resultado de una fuerza de atracción inherente entre dos masas, que actuaba a distancia instantáneamente. Aunque hasta el mismo Newton era consciente de la naturaleza desconocida de esta fuerza, el esquema resultante fue extremadamente preciso en la descripción del movimiento, con éxitos tales como la predicción de la existencia de Neptuno a partir de las variaciones en la órbita de Urano.

La relatividad general sustituyó a la teoría de la Gravitación Universal de Newton dando cuenta de muchos efectos que no podían ser explicados, como las anomalías en la órbita de Mercurio y de otros planetas; también hace numerosas predicciones - ya confirmadas - sobre los efectos de la gravedad, como la curvatura de la luz y la disminución del tiempo. Además la relatividad general predice un nuevo fenómeno conocido como ondas gravitacionales. A pesar de que la relatividad general no es la única teoría relativista de la gravedad, es la más simple de ellas consistente con los datos experimentales.

Sin embargo, un gran número de preguntas se mantienen abiertas: la más fundamental es cómo la relatividad general puede reconciliarse con las leyes de la mecánica cuántica para producir una teoría consistente única de la gravedad cuántica.
La teoría ha llegado a ser una herramienta esencial de la astrofísica moderna. Provee los fundamentos de nuestro actual entendimiento sobre los agujeros negros, que son regiones del espacio donde la atracción gravitacional es tan fuerte que ni siquiera la luz puede escapar de ella. Se piensa que su inmensa gravedad es la responsable de la intensa radiación emitida por ciertos tipos de objetos astronómicos (como núcleos galácticos activos o microquasares).

La curvatura de la luz debido a la gravedad puede llevar a un curioso fenómeno: en el cielo se pueden observar múltiples imágenes de un mismo objeto astronómico visible. Este efecto es conocido como lente gravitacional y su estudio es parte importante de la astronomía. Evidencias directas de las ondas gravitacionales han sido comprobadas por varios equipos de científicos, como los proyectos LIGO y GEO 600. La relatividad general es también la base del modelo estándar del Big Bang de la cosmología.

De la relatividad especial a la general

En 1905 Einstein publicó su teoría de la relatividad especial, que conciliaba las leyes de Newton con el electromagnetismo (la interacción entre partículas con carga eléctrica). La relatividad especial estableció un nuevo modelo de trabajo para todos los físicos, al introducir conceptos radicalmente nuevos sobre el espacio y el tiempo. El problema es que algunas de las teorías aceptadas hasta ese momento resultaron inconsistentes con este nuevo modelo (un ejemplo clave es la ley de la gravedad de Newton, que describe la atracción mutua que experimentan los cuerpos debido a su masa). El intento de superar dichas limitaciones llevaron a Einsten a construir la teoría de la relatividad más general.
Muchos físicos, incluso el mismo Einstein, intentaron encontrar una teoría que conciliara la ley de la gravedad de Newton con la relatividad especial. Tras varios intentos preliminares Einstein formuló publicó en 1915 su teoría general de la relatividad. Para entender las ideas básicas de esta teoría es muy instructivo seguir los razonamientos de Einstein entre los años 1907 y 1915, desde el experimento mental de un observador en caída libre hasta su teoría completamente geométrica de la gravedad.¹

El principio de equivalencia

Una persona dentro de un ascensor en caída libre experimenta una sensación de ingravidez durante su caída, y los objetos a su alrededor o bien flotan uno al lado de otro o se alejan entre sí a velocidades constantes. De esta manera, lo que un observador en caída libre experimenta no se puede distinguir de lo que experimenta un observador en el espacio profundo, lejos de cualquier fuente suficiente de gravedad. Tales observadores son los observadores privilegiados (inerciales) que Einstein describió en su teoría de la relatividad especial: aquellos para los cuales la luz viaja a lo largo de líneas rectas a velocidad constante. No sienten aceleración y no necesitan introducir lo que los físicos llaman fuerzas ficticias (tales como la fuerza que empuja a un conductor de un auto acelerando a su asiento) para explicar lo que ocurre a su alrededor.²

Einstein supuso que las experiencias similares de los observadores ingrávidos y los observadores inerciales en la relatividad especial representan una propiedad fundamental de la gravedad, e hizo de esto la piedra angular de su teoría de la relatividad general. Formuló esta idea en su principio de equivalencia, el cual a grandes rasgos expresa que una persona dentro de un ascensor en caída libre no puede decir que ambos están cayendo. Cada experimento en ambientes de caída libre tiene los mismos resultados que tendría si el observador estuviera en reposo (o moviéndose uniformemente) en el espacio profundo, lejos de todas las fuentes de gravedad.³

Gravedad y aceleración

Así como puede lograrse que la mayoría de los efectos de la gravedad desaparezcan haciendo observaciones en caída libre, también se pueden producir observando los objetos en un marco de referencia acelerado. Por ejemplo, un observador encerrado en una habitación no puede saber cuál de estas dos afirmaciones es la correcta:

Una pelota cae al suelo en un cohete acelerando (izquierda) y en la Tierra (derecha).

Los objetos caen al suelo porque la habitación está en la Tierra, y por lo tanto están siendo atraídos por la acción de la gravedad.
Los objetos caen al suelo porque la habitación está dentro de un cohete espacial que viaja con una aceleración de 9,81 m/s². Los objetos caen al suelo por la misma fuerza inercial que empuja al conductor de un automóvil acelerando hacia el asiento su vehículo.

A la inversa, cualquier efecto observado en un marco de referencia acelerado debería observarse en un campo gravitacional con la fuerza correspondiente. Este principio permitió a Einstein predecir varios efectos nuevos de la gravedad en 1907, tal y como se explica en la siguiente sección.
Un observador en un marco de referencia acelerado debe introducir fuerzas ficticias para explicar la aceleración experimentada por sí mismo y los objetos a su alrededor. Por ejemplo, la fuerza que empuja a un conductor de un auto acelerando hacia su asiento, como ya se ha mencionado. La clave del razonamiento de Einstein fue que el empuje constante y familiar del campo gravitacional de la Tierra es fundamentalmente lo mismo que estas fuerzas ficticias.⁴ Dado que las fuerzas ficticias siempre son proporcionales a la masa del objeto sobre el que actúan, un objeto en un campo gravitacional debería sentir una fuerza gravitacional proporcional a su masa, tal como lo expresa la ley de la gravedad de Newton.

Consecuencias físicas

En 1907 Einstein todavía estaba a ocho años de completar su teoría de la relatividad general. Sin embargo, basándose en su punto inicial para el desarrollo de su nueva teoría, el principio de equivalencia, fue capaz de hacer varias predicciones originales, las cuales podían someterse a experimentos.⁵

Corrimiento al rojo de una onda de luz al moverse en contra de un campo gravitacional (generado por la estrella amarilla que está debajo).

El primer efecto nuevo es el corrimiento al rojo de la luz a causa de la gravedad. Consideremos dos observadores a bordo de una nave espacial con movimiento acelerado. En la nave, existe un concepto natural de "arriba" y "abajo": la dirección hacia la cual acelera la nave es "arriba", y los objetos que no están fijos a ella aceleran en la dirección opuesta, cayendo hacia "abajo". Asumamos ahora que un observador está "más arriba" que el otro. Si el observador que está debajo envía un haz de luz al observador que está encima, la aceleración hace que este haz sufra un corrimiento al rojo, tal y como se puede calcular mediante la relatividad especial. El observador que está encima medirá en el haz de luz una frecuencia menor de la que mide el observador que está debajo. Recíprocamente, la luz enviada por el observador de arriba hacia el de abajo sufrirá un corrimiento al azul, es decir, el de abajo medirá frecuencias más altas que el de arriba.⁶ Einstein dedujo que estos corrimientos de frecuencia también debían observarse en campos gravitacionales, como se ilustra en el dibujo de la izquierda. Una onda de luz va sufriendo gradualmente un corrimiento al rojo mientras se mueve en contra de la dirección de la aceleración de la gravedad. Este efecto se ha confirmado experimentalmente, tal y como se describe debajo.
Este corrimiento de la frecuencias debido a la gravedad se corresponde con la dilatación del tiempo a causa de la gravedad. Dado que el observador que está más arriba mide la misma onda de luz pero con una frecuencia más baja que la que mide el observador de más abajo, el tiempo debe estar pasando más rápido para el observador de más arriba. Es decir, el tiempo corre más lento para los observadores que están más abajo en un campo gravitacional.
Es importante acentuar que, para ambos observadores, el flujo del tiempo no sufre cambios para los eventos que tengan lugar al menos en el marco de referencia de cada observador. Huevos cocidos en cinco minutos según cada reloj tendrán la misma consistencia para ambos observadores. Si pasa un año en cada reloj, cada observador envejece ese tiempo. En resumen, cada reloj está en perfecta concordancia con los sucesos que ocurren en su vecindad inmediata. Es sólo cuando se comparan los relojes de ambos observadores que se puede notar que el tiempo corre más lento para el observador de más abajo que para el de más arriba. Este efecto es minúsculo, pero también ha sido comprobado por numerosos experimentos, como se puede ver debajo.

Efecto de marea

La equivalencia entre los efectos gravitacionales e inerciales, no constituyen una teoría completa de la gravedad. En particular, no puede responder a la siguiente pregunta sencilla: ¿qué evita que la gente al otro lado del mundo se caiga? Podemos explicar la gravedad cerca de nuestra ubicación en la superficie de la Tierra como una fuerza ficticia - debido a que hemos elegido un marco de referencia que no está en caída libre. Sin embargo, un marco de referencia de caída libre de nuestro lado de la Tierra no puede explicar por qué las personas en el lado opuesto de la Tierra experimentan una fuerza gravitatoria en la dirección opuesta.

Dos cuerpos cayendo hacia el centro de la tierra aceleran el uno hacia el otro a medida que caen.

Una manifestación más básica de la misma involucra a dos cuerpos cayendo uno al lado del otro, hacia la Tierra. En un marco de referencia que está en caída libre junto a estos cuerpos, al parecer rondan libremente, sin peso - pero no es completamente así: después de todo, si se mira más de cerca, esos cuerpos no están cayendo en la misma dirección, sino hacia el mismo punto en el espacio : el centro de gravedad de La Tierra. Debido a esto, hay un componente del movimiento de cada cuerpo hacia el otro. En un pequeño entorno, como un ascensor en caída libre, esta aceleración relativa es minúscula, mientras que para paracaidistas en lados opuesto de la Tierra, el efecto es grande.
Tales diferencias en fuerza también son responsables de las mareas en los océanos de la Tierra, por lo que el término "efecto de marea" es usado para este fenómeno.
La equivalencia entre la inercia y la gravedad no puede explicar los efectos de marea - no explican las variaciones en los campos gravitacionales. Para esto, se necesita una teoría que describa la manera en que la materia (una como la gran masa de la Tierra) afecta el entorno inercial a nuestro alrededor.

De la aceleración a la geometría

Al explorar la equivalencia de la gravedad y la aceleración, así como el papel de las fuerzas de mareas, Einstein descubrió varias analogías interesantes con la geometría de superficies. Un ejemplo de ello es la transición de un marco de referencia inercial (en el que las partículas se deslizan libremente en trayectorias rectas a velocidad constante) a un marco de referencia rotacional (en el cual se deben introducir términos extras correspondientes a las fuerzas ficticias con el fin de explicar el movimiento de las partículas): esta transición es análoga a la transición de un sistema de coordenadas cartesianas (en el cual los ejes de coordenadas son líneas rectas) a un sistema de coordenadas curvilineales (donde los ejes de coordenadas no son necesariamente líneas rectas).

Una analogía más profunda relaciona las fuerzas de mareas con una propiedad de las superficies llamada curvatura . Para los campos gravitacionales, la ausencia o presencia de fuerzas de marea determina si la influencia de la gravedad puede ser eliminada o no por la elección de un marco de referencia en caída libre. Del mismo modo, la ausencia o presencia de curvatura sobre una superficie determina si es equivalente o no a un plano. En el verano de 1912, e inspirado por estas analogías, Einstein comenzó a buscar una formulación geométrica de la gravedad.⁷

Los objetos elementales de la geometría - puntos, líneas, triángulos - tradicionalmente se definen en un espacio tridimensional o en una superficie de dos dimensiones. Sin embargo, en 1907 el matemático Hermann Minkowski introdujo una formulación geométrica de la teoría especial de la relatividad de Einstein que incluye no sólo el espacio sino también el tiempo. La entidad básica de esta nueva geometría es el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Las órbitas de los cuerpos en movimiento son líneas en el espacio-tiempo; las órbitas de los cuerpos moviéndose a velocidad constante sin cambiar de dirección son líneas rectas.⁸

Para superficies, la generalización de la geometría de un plano - una superficie plana - a la geometría de una superficie curva general ya había sido descrita a comienzos del siglo XIX por Carl Friedrich Gauss. Esta descripción a su vez se había generalizado a espacios de más dimensiones usando el formalismo matemático introducido por Bernhard Riemann en la década de 1850. Con la ayuda de la geometría riemanniana, Einstein formuló una descripción geométrica de la gravedad en la cual el espacio-tiempo de Minkowski es reemplazado por un espacio-tiempo curvo y distorsionado, al igual que las superficies curvas son la generalización de las superficies planas ordinarias.⁹

Después de haberse dado cuenta de la validez de esta analogía geométrica, Einstein se demoró tres años más en encontrar la piedra angular de su teoría: las ecuaciones que describen cómo la materia afecta la curvatura del espacio-tiempo. Habiendo formulado las ahora conocidas como ecuaciones de Einstein (o, más precisamente, sus ecuaciones de campo de la gravedad), a finales de 1915 presentó su teoría en una serie de conferencias en la Academia de Ciencias de Prusia.¹⁰

Geometría y gravitación

Parafraseando el decano de la investigación de la relatividad en América, John Wheeler, la teoría de Einstein respecto de la gravedad geométrica puede resumirse así: El espaciotiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espaciotiempo, cómo debe curvarse.¹¹ La comprensión de lo que esto significa requiere de tres cosas: en primer lugar, la noción de que las partículas son tan pequeñas que su efecto sobre el campo gravitacional en que se mueven es insignificante; segundo , La naturaleza de la materia como fuente de gravedad, en tercer lugar, la ecuación de Einstein, que muestra cómo esta cuestión fuente está relacionada con la curvatura del espacio. -->

Probando el campo gravitacional

Geodésicas convergentes: dos líneas de longitud (verde) comienzan en paralelo en el ecuador (rojo), pero convergen para reunirse en el polo.

Con el fin de entender la influencia gravitatoria de un cuerpo, es útil emplear lo que los físicos llamada sonda o partículas de prueba - partículas que están influenciadas por la gravedad, pero son tan pequeñas y ligeras que podemos desestimar su propio efecto gravitacional. En ausencia de gravedad y otras fuerzas externas, una partícula de prueba se mueve a lo largo de una línea recta a una velocidad constante. En el lenguaje del espacio-tiempo, esto es equivalente a decir que esa partícula de prueba se mueve a lo largo de una líneas de mundo recta en el espacio. En presencia de gravedad, sin embargo, el espacio es no-euclidiana, o curvo de forma similar en dos dimensiones a la superficie de una esfera. En este espacio, las líneas rectas de mundo pueden no existir; en lugar de eso las partículas de prueba se se mueven a lo largo de líneas llamada geodésicas, que son "lo más rectas posible". El término geodésica proviene de la geodesia, la ciencia de medir el tamaño y la forma de la Tierra.

En el sentido original, una geodésica es el camino más corto entre dos puntos en la superficie de la Tierra, es decir, un segmento de un gran círculo, como una recta de longitud o el Ecuador. Estos caminos no son rectos, ya que deben seguir la curvatura de la superficie de la Tierra, pero son lo más rectas posible, sujetas a esta limitación. Las propiedades de las geodésicas difieren de los de las líneas rectas. Por ejemplo, en un plano, las líneas rectas que comienzan en direcciones paralelas se mantendrán a una constante distancia el uno del otro. Este no es el caso de las geodésicas en la superficie de la Tierra: por ejemplo, las líneas de longitud son paralelas en el ecuador, pero se entrecruzan en el polo. Las líneas de mundo de las partículas de prueba en caída libre son geodésicas del espacio-tiempo - son lo más rectas posibles en el espacio - tiempo. Sin embargo, hay importantes diferencias entre estas y las verdaderas líneas rectas que se pueden trazar en el espacio-tiempo libre de gravedad. En la relatividad especial, las paralelas geodésicas siguen siendo paralelas, mientras que en un campo gravitacional con efectos de marea, esto no tiene por qué ser el caso. Por ejemplo, si dos cuerpos, inicialmente en reposo uno respecto al otro, caen en el campo gravitacional de la Tierra, se trasladarán el uno hacia el otro mientras caen hacia el centro de la Tierra.¹²

Al pasar de las partículas de prueba a los objetos reales, las leyes del movimiento se vuelven algo más complicadas, pero sigue siendo cierto que el espacio le dice a la materia cómo moverse.¹³ En comparación con los planetas y otros cuerpos astronómicos, los objetos de la vida cotidiana (personas, coches, casas, incluso las montañas) tienen relativamente poca masa. Cuando tratamos con esos objetos, las leyes que rigen el comportamiento de las partículas de prueba son perfectamente suficientes para describir lo que sucede. En concreto, con el fin de desviar una partícula de prueba de su trayectoria geodésica, debe aplicarse una fuerza externa. Una persona sentada en una silla está tratando de seguir una geodésica (caída libre hacia el centro de la Tierra), pero la silla le aplica una fuerza externa hacia arriba que evita que la persona caiga.

De esta manera, la relatividad general explica la experiencia cotidiana de la gravedad sobre la superficie de la Tierranocomo el tirar hacia abajo de una fuerza gravitacional, sino como el impulso hacia arriba de las fuerzas externas que desvían los cuerpos que reposan en la superficie terrestre de las geodésicas que seguirían en situación libre.¹⁴

Fuentes de gravedad

En la gravedad de Newton, la fuerza gravitatoria es causada por la materia, más precisamente, por una propiedad especial de la materia: masa. En la teoría de Einstein y en las formas conexas de teorías de la gravitación, la curvatura en cada punto del espacio-tiempo también es causada por cualquier materia presente, y aquí, también, la masa es una propiedad clave en la determinación de la influencia gravitatoria de la materia. Pero en una teoría relativista de la gravedad, la masa no puede ser la única fuente de la gravedad, porque la relatividad vincula la masa con la energía y la energía con el ímpetu.
La equivalencia entre masa y energía, según lo expresado por la fórmula 'E = mc' ² es tal vez la más famosa consecuencia de la relatividad especial. En la relatividad, la masa y la energía son formas diferentes de describir una misma cantidad física. Cuando un sistema físico tiene energía, hay que atribuir también la masa correspondiente, y viceversa. En particular, todas las propiedades de un cuerpo que están asociadas con la energía, tales como su temperatura, así como la energía de enlace de sistemas como el núcleo o las moléculas , contribuyen a la masa del cuerpo, y, por tanto, actúan como fuentes de la gravedad.¹⁵

Sin embargo, hay otra consecuencia de la relatividad especial que sigue siendo válida en la relatividad general: la energía está estrechamente relacionada con impulso. Si una partícula tiene energía, entonces para algunos observadores (en relación con los cuales la partícula está en movimiento), también su impulso será distinto a cero. Así como en la relatividad especial, espacio y tiempo están entrelazados y son simplemente diferentes aspectos de espacio, la energía y el impulso no son más que diferentes aspectos de una cantidad unida, de cuatro dimensiones, cantidad que los físicos llaman cuatri-momento.

Por lo tanto, en una teoría relativista de la gravedad, si la energía es una fuente de gravedad, entonces el impulso debe ser una fuente de gravedad. Lo mismo puede decirse de las cantidades que están directamente relacionadas con la energía y el impulso, como presión interna y tensión. Tomados en conjunto, en la relatividad general, masa, energía, impulso, presión y tensión sirven como fuentes de la gravedad, y todas estas cantidades no son sino aspectos de una mayor cantidad física general (descrita por un objeto matemático llamado el tensor energía impulso), que describe cómo se curva el espacio tiempo.¹⁶

Ecuaciones de Einstein

Las Ecuaciones de Einstein son el centro de la relatividad general. Proporcionan una formulación precisa, utilizando el lenguaje de las matemáticas, de la relación entre la geometría del espacio-tiempo y las propiedades de la materia.

Distancias correspondientes a 30 grados a diferencia de longitud, en diferentes latitudes, sobre la superficie de la tierra.

Estas ecuaciones se formulan utilizando el lenguaje de la geometría riemanniana, en la que las propiedades geométricas de un espacio (o espacio-tiempo) son descritas por una cantidad llamada métrica. La métrica codifica la información necesaria para calcular las nociones geométricas fundamentales de distancia y ángulo en un espacio curvo (o espacio-tiempo).

Una superficie esférica como la de la Tierra proporciona un ejemplo sencillo. La ubicación de cualquier punto de la superficie puede ser descrito por dos coordenadas geográficas: latitud y longitud. Sin embargo, a diferencia de las coordenadas cartesianas del plano, las diferencias de coordenadas no son lo mismo que las distancias en la superficie, tal y como se muestra en el diagrama de la derecha: para alguien en el ecuador, moverse hacia el Oeste por 30 grados de longitud (línea magenta) corresponde a un distancia de aproximadamente 3300 kilómetros; para alguien mucho más al norte, a una latitud de 55 grados, al moverse 30 grados de longitud hacia el oeste (línea azul) se cubre una distancia de sólo 1900 kilómetros.

Las coordenadas, por lo tanto, no proporcionan suficiente información para describir la geometría de una superficie esférica o la geometría más complicada del espacio-tiempo: se necesita información adicional para convertir las diferencias de coordenadas a distancias reales. Este es, precisamente, la información codificada en la métrica: se trata de una función definida en cada punto de la superficie (o espacio, o espacio-tiempo) que describe hasta qué punto el espacio se curva o estira en el entorno de ese punto. Todas las demás cantidades que son de interés en la geometría, tales como la longitud de cada curva, o el ángulo en que dos curvas se encuentran, se puede calcular a partir de esta función métricas.¹⁷

La cantidad de curvatura que hay en cada punto de un espacio (o espacio-tiempo) determina la curvatura del espacio. Más precisamente, la función métrica y la rapidez con que cambia de un punto a otro se puede utilizar para definir una cantidad geométrica llamada Tensor de curvatura de Riemann, que describe exactamente la forma en que el espacio (o espacio-tiempo) es curva en cada punto . En la relatividad general, la métrica y el tensor de curvatura son las cantidades definidas en cada punto en espacio-tiempo. Además, el contenido de materia del espacio, como se ha indicado, define otra cantidad, el tensor energía-impulso T, y el principio de que "el espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse, y la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse", significa que estas cantidades deben estar relacionados de alguna manera. Einstein formuló esta relación usando el tensor de curvatura y la métrica para definir otra cantidad geométrica G, que ahora se conoce como el tensor de Einstein, que describe algunos aspectos de la forma en la que el espacio-tiempo se curva. La ecuación de Einstein entonces se establece que

$\mathbf{G}=\frac{8\pi G}{c^4}\mathbf{T},$
es decir, hasta un constante múltiple, la cantidad G (que mide la curvatura) se equipara con la cantidad T (que mide el contenido de materia). Las constantes que participan en esta ecuación reflejan las diferentes teorías que se usaron para deducirlas: G es la Constante de gravitación universal que ya está presente en la gravedad de Newton;c es la velocidad de la luz, la clave constante de la relatividad especial, y π es una de las constantes básicas de la geometría. La aparición de π en la ecuación se asocia con la zona (4 π) de la unidad de materia, mientras que las constantes c y G se necesitan para convertir la cantidad T (que tiene unidad físicas) en unidades puramente geométricas.

Esta ecuación es referida a menudo en plural como ecuaciones de Einstein , puesto que las cantidades G y T son determinados por un conjunto de diez funciones de las coordenadas del espacio, y las ecuaciones equiparan cada una de estas funciones componentes. Sin embargo, a causa de la libertad de cambiar las cuatro coordenadas en las que las ecuaciones se expresan, en realidad hay sólo seis ecuaciones físicas que deben cumplirse en cada punto en espacio.¹⁸ describe una geometría particular de el espacio y el tiempo. Por ejemplo, la primera solución que se encontró, apenas un mes después de que Einstein publicara su teoría, fue la métrica de Schwarzschild, que describe la geometría esférica alrededor de una única masa no giratoria, como una estrella o un agujero negro, mientras que la solución de Kerr describe un agujero negro giratorio. Otras soluciones pueden describir una onda gravitacional o en el caso de la más compleja solución de la Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, la expansión del universo. La solución más sencilla es por supuesto el espacio-tiempo plano o espacio de Minkowski, que es el espacio-tiempo descrito por la relatividad especial.¹⁹

Pruebas experimentales

Ninguna teoría científica es absolutamente verdadera; cada teoría es un modelo que debe ser comprobado experimentalmente, y que nunca puede ser considerado suficientemente verificado. La Ley de la gravedad de Newton fue aceptada porque predecía el movimiento de los planetas en el sistema solar con una enorme precisión. No obstante, a medida que se fue incrementando la precisión de las medidas experimentales, comenzaron a encontrarse discrepancias con las predicciones de la gravitación de Newton. Estas discrepancias fueron explicadas por la Teoría de la Relatividad General, pero para que se aceptase como teoría científica, había que comprobar experimentalmente otras previsiones de la teoría. El mismo Einstein extrajo algunas de ellas y animó a hacer la comprobación experimental, en lo que se conoce como las pruebas clásicas de la relatividad general:

Discrepancias entre predicciones: la órbita newtoniana (en rojo) frente a la órbita relativista (en azul) de un solo planeta alrededor de una estrella esférica.

La gravedad newtoniana predice que la órbita de un solo planeta girando alrededor de una estrella perfectamente esférica debe ser una elipse. La teoría de Einstein predice una órbita más complicada en la cual el planeta se comporta como si estuviera girando en una órbita elíptica, pero esta elipse a su vez está rotando lentamente alrededor de la estrella (ver diagrama). En nuestro sistema solar se puede encontrar este fenómeno de desviación de la órbita newtoniana en Mercurio, en lo que se conoce como avance del perihelio de Mercurio. Este fenómeno se había hecho notar ya en 1859, pero no se dispuso de datos de precisión hasta el uso de radiotelescopios entre 1966 y 1990. El mismo fenómeno se da a menor escala en los demás planetas cercanos al Sol.²⁰
La teoría de Einstein predice que los rayos de luz no siguen líneas rectas en un campo gravitatorio; se produciría una deflección de la luz, como se representaba en el gráfico inicial del artículo. La teoría de la Relatividad General predice que la luz de una estrella girará al pasar cerca del Sol, de manera que la posición aparente variará 1.75 segundos de arco. En la teoría de la gravitación newtoniana, al ser el fotón una partícula sin masa, no debería haber ninguna deflexión, aunque una aplicación más sutil usando masas infinitesimales según los trabajos de J.G. von Soldner en 1804, podía predecir la mitad de la deflexión einsteniana.²¹ Estas predicciones podrían ser confrontadas observando la posición aparente de una estrella durante un eclipse de Sol. En 1919, la expedición británica a Brasil y África del Este para estudiar el eclipse de Sol del 28 de mayo de ese año, dirigida por Arthur Eddington, confirmó la predicción de Einstein. Las medidas de Eddington no eran muy precisas, pero sucesivas observaciones han confirmado los resultados con gran exactitud.²²
Otra predicción de la Teoría de la Relatividad General era el corrimiento gravitacional al rojo. Esta predicción de la teoría de la relatividad general fue la última de las pruebas clásicas en ser confirmada, mediante el experimento de Pound- Rebka en 1959. Mediante un ingenioso diseño experimental, estos investigadores midieron en el laboratorio Jefferson de la Universidad de Harvard el corrimiento al rojo cuando una onda de radiación de alta energía iba hacia arriba o hacia abajo en el campo gravitatorio terrestre.

A partir de los años sesenta, con el inicio de la carrera espacial y los nuevos desarrollos teóricos de la teoría y de otras teorías alternativas de la gravedad, la relatividad vivó su era dorada de la relatividad general.²³ Experimentos más recientes que confirman la relatividad general han sido la (indirecta) deducción de ondas gravitacionales emitidas por estrellas binarias orbitantes, la existencia de estrellas de neutrones y agujeros negros, las lentes gravitacionales, y la convergencia de las medidas en la cosmología observacional hacia un aproximadamente modelo llano del Universo observable, con un parámetro de densidad de materia de aproximadamente el 30% de la densidad crítica y una constante cosmológica de aproximadamente el 70% de la densidad crítica.

El principio de equivalencia, el postulado de la relatividad que supone que la masa inercial y la masa gravitacional es lo mismo, sigue también bajo test.
El experimento Hafele-Keating en 1971 y la sondas espaciales de Prueba de la Gravedad A y B validaron la dilatación gravitacional del tiempo. Algo que se ha comprobado más rigurosamente gracias al sistema de satélites de posicionamiento o GPS.

Aplicaciones astrofísicas

Los modelos de los fenómenos astronómicos sobre la base de la relatividad general desempeñan un papel importante en astrofísica, y el éxito de estos modelos es más prueba de la validez de la teoría.

Ondas gravitacionales

Recreación artística del detector de ondas gravitacionales en el espacio LISA

Las ondas gravitacionales, una consecuencia directa de la teoría de Einstein, se han detectado indirectamente en estrellas binarias. Tales pares de estrellas orbitan una alrededor de la otra, y poco a poco pierden energía porque emiten ondas gravitacionales. Esta pérdida de energía es normalmente de modo tan gradual que es difícil de detectar. Sin embargo, en 1974, esta pérdida de energía se observó en un púlsar binario llamado PSR1913 +16; los descubridores, Hulse y Taylor, Se adjudicaron el Premio Nobel de Física en 1993. Desde entonces, varios otros púlsares binarios se han encontrado; los más útiles son aquellos en los que los púlsares son estrellas, ya que proporcionan las pruebas más exactas de la relatividad general. Los púlsares son estrella de neutrones s que emiten un haz estrecho de radiación electromagnética de sus polos. Como el púlsar rota, su rayo es visto desde la tierra como una serie regular de pulsos de radio, al igual que un buque en el mar observa de ordinario como destellos de luz la rotación de la luz en un faro. Este patrón regular de pulsos de radio es útil como un "reloj" de alta precisión que nos informa sobre la actividad en su barrio.²⁴

Actualmente, uno de los principales objetivo de la investigación en la relatividad es la detección directa de ondas gravitacionales. Con este fin, una serie de tierra detector de ondas gravitacionales s se encuentran en funcionamiento, y una misión para poner en marcha un detector en el espacio, LISA, se encuentra actualmente en fase de desarrollo, con una misión precursora, LISA Pathfinder. debido para lanzar a finales de 2009. Si las ondas gravitacionales son detectados, podrían ser utilizados para obtener información sobre objetos compactos, como estrella de neutrones y agujero negro, y también a la sonda el estado de las primeras fracciones de segundo después del Big Bang.²⁵

Lentes gravitacionales

Cuatro imágenes del mismo objeto astronómico, producida por una lente gravitacional

Dado que la luz es desviada por la masa, es posible que la luz de un lejano objeto llegue a un observador a lo largo de dos o más caminos. Por ejemplo, la luz de un objeto muy distante, como un quasar pueden pasar a lo largo de un lado de una enorme galaxia y se desvíe ligeramente con el fin de llegar a un observador en la Tierra, pero la luz que pasa a lo largo del lado opuesto de la misma galaxia que podría ser desviado también, alcanzando el mismo observador, desde una dirección ligeramente diferente. Fenómenos similares son bien conocidos en óptica, se puede enfocar los rayos de luz diferentes en un solo punto, por lo que el correspondiente efecto gravitacional se llama lentes gravitacionales. El resultado es que un observador verá dos o más imágenes diferentes del mismo objeto astronómico en el cielo nocturno.²⁶

En Astronomía observacional usa el efecto de lentes como una herramienta importante para inferir propiedades de las lentes objeto: la forma de una imagen que ha sufrido la lente gavitacional, incluso si el objeto lente no es visible directamente, proporciona información acerca de la masa de la distribución Lensing objeto. En particular, las lentes gravitacionales proporcionan una manera de detectar materia oscura: esos lentes configuraciones son a menudo muy grande, que abarca una parte considerable de la magnitud de los universo observable. En consecuencia, pueden ser usados para obtener información acerca de la gran escala de propiedades de nuestro cosmos, en particular sobre la constante de Hubble, una medida del universo en curso expansión.²⁷

Agujeros Negros

Potente agujero negro procedente de la región central de la galaxia M87

Cuando la masa se concentra en una región suficientemente compacto de espacio, la relatividad general predice la formación de un agujero negro - una región del espacio con una atracción gravitatoria tan fuerte que ni siquiera la luz puede escapar. Ciertos tipos de agujero negro se cree que el estado final en la evolución de la masiva estrellas. Agujero negro supermasivo s con la masa de millones s o millones de Soles se cree que estar presentes en los núcleos de la mayoría de los galaxias. Desempeñan un papel clave en los modelos actuales de cómo las galaxias se han formado a lo largo de los últimos miles de millones de años.²⁸

El caer de la materia en un objeto compacto es uno de los más eficientes mecanismos para la liberación de energía en forma de radiación. Los agujeros negros, se piensa, son responsables de algunos de los fenómenos astronómicos más brillantes imaginables. Entre los ejemplos notables de gran interés para los astrónomos son cuásares y otros tipos de núcleos activos de galaxias. Bajo las condiciones adecuadas, la disminución de la acumulación de materia alrededor de un agujero negro puede dar lugar a la formación de jets, que se centró en las vigas de la materia son remotas lejos en el espacio a velocidades cerca a la de la luz.²⁹

Los agujeros negros son prometedoras fuentes de ondas gravitacionales. Una de las razones es que los agujeros negros son los más compactos que los objetos pueden órbita unos a otros como parte de un sistema binario, como resultado, las ondas gravitacionales emitidas por un sistema de este tipo son especialmente fuertes. Otra razón se desprende de lo que se llama teoremas de la singularidad de los agujeros negros: el paso del tiempo, los agujeros negro retener sólo un conjunto mínimo de características distintivas (desde diferentes estilos de cabello son una parte crucial de lo que da a diferentes personas de sus diferentes apariencias , Estos teoremas se han convertido en conocidos como "no pelo" teoremas). Por ejemplo, en el largo plazo, la quiebra de una cuestión hipotética cubo no darán lugar a un cubo en forma de agujero negro. En lugar de ello, el agujero negro resultante será indistinguible de un agujero negro formado por el colapso de una masa esférica, pero con una diferencia importante: en su transición a una forma esférica, el agujero negro formado por el colapso de un cubo se emiten ondas gravitatorias.³⁰

Cosmología

Imagen de la radiación emitida no más de unos cientos de miles de años después del Big Bang, capturado por satélite con el telescopio WMAP.

Uno de los aspectos más importantes de la relatividad general es que puede aplicarse a la universo en su conjunto. Todas las observaciones actuales sugieren que la estructura del cosmos parece ser aproximadamente el mismo (en promedio) de cada punto en el espacio y en todas las direcciones de observación, en otras palabras, el universo es aproximadamente de homogéneo e isotrópico. Un Universo así, tan comparativamente simple (al ser homogéneo isotrópico) puede describirse mediante una simple solución de las ecuaciones de Einstein. Así, el actual modelo cosmológico del Universo se obtienen mediante la combinación de estas soluciones simples de la relatividad general con las teorías que describen las propiedades del contenido del universo, a saber, termodinámica, física nuclear y física de partículas. Según estos modelos, nuestro actual universo está en expansión y es la evolución de un estado de muy alta densidad de masa y energía (el Big Bang), sucedido hace aproximadamente 14.000 millones de años, y se ha ido expandiendo desde entonces.³¹

Las Ecuaciones de Einstein pueden generalizarse mediante la adición de un término llamado la constante cosmológica. Cuando este término está presente, el espacio vacío en sí actúa como una fuente de atractivo o, excepcionalmente, gravedad repulsiva. Este término lo introdujo Einstein en el primer documento sobre la cosmología en 1917 para construir un modelo estático del universo en consonancia con el pensamiento cosmológico contemporáneo. Cuando se hizo evidente que el universo no es estático, sino en expansión, Einstein se apresuró a descartar este término adicional por razones estéticas. Sin embargo, su reacción resultó ser prematura. Un conjunto pruebas astronómicas que se han ido acumulando de manera constante, a partir de alrededor de 1998, ha demostrado que la expansión del universo es acelerada de un modo que sugiere la presencia de una constante cosmológica, o el equivalente, de una energía oscura con propiedades específicas que impregna todas las regiones del espacio.³²

Más allá de la relatividad general

Aún hoy, los científicos intentan desafiar la Relatividad General con más y más precisos experimentos directos. La meta de esos tests es arrojar luz en la aún desconocida relación entre la gravedad y la mecánica cuántica. Se utilizan sondas espaciales bien para hacer mediciones más precisas de largas distancias o para llevar los instrumentos hasta un entorno mucho más controlado que el que se podría conseguir en la Tierra. Por ejemplo, en 2004 un satélite dedicado exclusivamente a experimentos gravitacionales, llamado Gravity Probe B, fue lanzado para testear la predicción de los esquemas de ralentizamiento de relatividad general. También, los experimentos en tierra como LIGO y el hospedaje de detectores de masas resonantes intentan detectar ondas gravitacionales directamente. LISA un proyecto espacial para la detección de ondas gravitacionales se encuentra aún en fases preliminares. Debería ser sensible a ondas gravitacionales de baja frecuencia, tal vez incluso el Big Bang.

La teoría de la relatividad de Einstein predice que la velocidad de la gravedad (definida como la velocidad a la cual un cambio en la localización de una masa se propaga a otras masas) debe ser la velocidad de la luz. En 2002, el experimento Fomalont-Kopeikin consiguió mediciones de la velocidad de la gravedad que cuadraban con las predicciones. De todas formas, este experimento no ha sido aún ampliamente revisado, y hay críticas que afirman que Formalont-Kopeikin no han hecho otra cosa mas que medir la velocidad de la luz de una manera enrevesada.
La anomalía de las Pioneer es una observación empírica que muestra que las posiciones entre las sondas espaciales Pioneer 10 y Pioneer 11 difieren ligeramente con respecto a las que se esperaban de acuerdo a los efectos conocidos (gravitacionales u otros). La posibilidad de una nueva física no ha sido descartada a pesar de la intensa investigación en la búsqueda de una explicación más prosaica.

Extensión de la relatividad especial a sistemas de referencia no inerciales

Aunque la relatividad general fue pensada inicialmente como una extensión de la relatividad especial a los sistemas no inerciales, hoy en día solamente la teoría de la gravitación se considera RG, y se consideran los sistemas no inerciales como una introducción, porque los sistemas acelerados de la referencia se pueden examinar con la relatividad especial considerando que el sistema de referencia inercial instantáneo que un observador acelerado es en si un evento conocido.
Esta consideración muestra dos efectos relacionados: dilatación gravitacional del tiempo y corrimiento al rojo por el efecto gravitacional.
Por ejemplo, consideremos a dos personas en un cohete que esté acelerando, con una (de las dos personas) más arriba (en la dirección de la aceleración) en la nave. Si la persona “de más abajo" emite un haz de luz hacia la persona "de arriba". Durante el tiempo que la luz está viajando, el sistema de referencia se está acelerando, respecto al sistema de referencia en el cual la luz fue emitida. Consecuentemente, la luz estará desplazada hacia el rojo para la persona de arriba. Esto se conoce como el corrimiento al rojo gravitacional. De igual modo, la luz emitida por la persona de arriba presentará un corrimiento al azul para la persona de más abajo (puesto que están acelerando a la persona de más abajo hacia la fuente de la luz).

El corrimiento al rojo revela otro efecto para los observadores acelerados: la dilatación gravitacional del tiempo. Dado que el corrimiento al rojo significa que la luz no está vibrando tan rápidamente como debiera, visto desde la persona de arriba, el tiempo de la persona de abajo va más despacio.
Otro efecto es la flexión de la luz. Para nuestro observador acelerado, un haz de luz que esté viajando inicialmente horizontalmente estará doblado “hacia abajo” mientras el observador esté acelerando "hacia arriba" respecto al sistema de referencia inercial.

La geometría de la gravitación

En la relatividad general el espacio-tiempo es no-euclídeo o curvado. La necesidad de la curvatura se debe al principio de equivalencia y a la pregunta inocente de un niño: "¿Qué evita que gente del otro lado del mundo se caiga?". Es decir ¿no deben las trayectorias de inercia en el otro lado de la tierra tomar objetos lejos del planeta? En efecto, todas las trayectorias de caída libre próximas a un objeto masivo atraerán objetos hacia ella.
Esto puede ilustrarse mejor considerando dos bolas en los lados opuestos de la tierra que están en reposo con respecto al centro de la tierra (y por lo tanto respecto uno a otro). En el estado de reposo, están siguiendo líneas paralelas del universo a través del espacio-tiempo. Ahora si a ambas bolas se las permite caer en un instante dado, acelerarán la una hacia la otra. Este movimiento hace que sus líneas ya no sean paralelas.

Einstein necesitaba una idea en la cual las líneas paralelas de inercia del universo pudiesen llegar a ser no paralelas, algo que la relatividad especial no permite. Einstein encontró la respuesta en la curvatura. Un ejemplo de esta idea es la superficie de la tierra. Por ejemplo, los meridianos son localmente rectos en la superficie de la tierra. En el ecuador, son paralelos, pero en los polos se cruzan. Los meridianos también describen las trayectorias geodésicas en la superficie de la tierra, y de hecho cualquier gran círculo es una geodésica en la Tierra.
Con esto en mente, Einstein propuso que los objetos que se muevan inercialmente siguen líneas geodésicas del espacio de Minkowski a través del espacio-tiempo. Dado una curvatura apropiada del espacio-tiempo, la caída libre y el movimiento orbital pueden ahora ser movimientos de inercia, como se ha dicho anteriormente.

Ecuaciones de campo de Einstein

Los movimientos orbitales y de caída libre dependen de la presencia de un objeto masivo, consecuentemente en la teoría de la relatividad general y en otras teorías gravitacionales relacionadas la presencia de un objeto masivo de alguna manera curva el espacio tiempo. Además la masa no es más que una forma de energía en la relatividad (debido a E=mc²) y la energía y la cantidad de movimiento están enlazados (al igual que el espacio y el tiempo están ligados). Luego a esto sigue que la presencia de energía, masa o cantidad de movimiento curva el espacio tiempo.

En la relatividad general esta relación entre la materia y la curvatura del espacio-tiempo está descrita por las ecuaciones de campo de Einstein. Estas ecuaciones fueron desarrolladas por Einstein a finales de 1915. Las ecuaciones de campo de Einstein se expresan con el cálculo tensorial de hasta 10 ecuaciones diferenciales independientes simultaneas. La solución de estas ecuaciones dan como resultado un tensor métrico del espacio-tiempo. (Un tensor métrico del espacio-tiempo describe los intervalos invariantes ajustados entre las posiciones vecinas en el espacio-tiempo las coordenadas de las cuales difieren en una cantidad infinitesimal. La forma más sencilla del tensor métrico del espacio tiempo es el tensor de Minkowski) Estos tensores describen la forma del espacio-tiempo, y se puede obtener las ecuaciones de movimiento para objetos que se desplacen inercialmente y la curvatura del espacio tiempo.

Como ya se ha dicho, las formas actuales del espacio-tiempo están descritas como soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein. En particular la solución de Schwarzschild (1916) describe el campo gravitatorio alrededor de un objeto dotado de masa con simetría esférica. Las geodésicas de la solución de Schwarzschild describen la observada en objetos que están afectados gravitacionalmente, incluyendo la anómala precesión por el perihelio de Mercurio y la curvatura de la luz debida al Sol.

Véase también

Introducción matemática a la relatividad general

Notas y referencias

↑ Este desarrollo es estudiado en Renn, 2005, p. 110ff., en los capítulos del 9 al 15 de Pais, 1982, y en Janssen, 2005. Se puede encontrar una gravedad Newtoniana muy precisa en Schutz, 2003, capítulos 2–4. Es imposible decir si el problema de la gravedad newtoniana se cruzó por la mente de Einstein antes de 1907, pero según admitió él mismo, sus primeros intentos serios de conciliar esa teoría con la relatividad especial datan de ese año.Pais, 1982, p. 178.
↑ Esto se describe en detalle en el capítulo 2 de Wheeler, 1990.
↑ Mientras que el principio de equivalencia todavía es parte de las exposiciones modernas sobre relatividad general, hay algunas diferencias entres las versiones modernas y el concepto original de Einstein, cf. Norton, 1985.
↑ E. g. Janssen, 2005, p. 64f. El mismo Einstein explica esto en la sección XX de su libro sobre divulgación de 1961. Siguiendo ideas anteriores de Ernst Mach, Einstein también estudió la fuerza centrífuga y su analogía gravitacional, cf. Stachel, 1989.
↑ Más específicamente, los cálculos de Einstein, descritos en el capítulos 11b de Pais, 1982, usan el principio de equivalencia, la equivalencia de la gravedad y las fuerzas inerciales, y los resultados de la relatividad especial sobre la propagación de la luz y los observadores acelerados.
↑ Este efecto se puede derivar directamente sin la relatividad especial, examinando cualquiera de las situaciones equivalentes de dos observadores en una nave espacial acelerando o en un ascensor en caída libre. En ambas situaciones, la corrimiento en la frecuencia tiene una descripción equivalente como un corrimiento Doppler entre ciertos marcos incerciales. Para derivaciones más simples de esto, ver Harrison, 2002.
↑ Las mareas y su interpretación geométrica se explican en el capítulo 5 de Wheeler, 1990. Esta parte del desarrollo histórico se remonta a Pais, 1982, section 12b.
↑ Para presentacones elementales del concepto de espacio-tiempo, ver la primera sección en el capítulo 2 de Thorne, 1994 y Greene, 2004, p. 47–61. Se pueden encontrar tratamientos más completos en un nivel medianamente elemental en Mermin, 2005 y en Wheeler, 1990, capítulos 8 y 9.
↑ Ver Wheeler, 1990, capítulos 8 y 9 para ilustraciones claras del espacio-tiempo.
↑ El esfuerzo de Einstein por encontrar las ecuaciones de campo correctas está narrado en los capítulos 13–15 de Pais, 1982.
↑ Por ejemplo, p. xi en Wheeler, 1990.
↑ Una minuciosa y, sin embargo, accesible explicación de geometría diferencial básica y su aplicación en la relatividad general puede encontrarse en Geroch, 1978.
↑ A partir de la teoría completa, se pueden utilizar las ecuaciones de Einstein para obtener estas leyes del movimiento más general para la materia como consecuencia de la geometría, sin embargo, la comprensión se deriva de esta noción de las partículas de pruebas idealizadas, cf. Poisson, 2004.
↑ Ver el capítulo 10 de Wheeler, 1990.
↑ Una simple explicación de la equivalencia masa-energía se puede encontrar en las secciones 3,8 y el 3,9 de Giulini, 2005.
↑ Véase el capítulo 6 de Wheeler, 1990.
↑ Para una definición más detallada de la métrica, pero más informal que en un libro de texto, véase el capítulo 14,4 de Penrose, 2004.
↑ El significado geométrico de las ecuaciones de Einstein se estudia en los capítulos 7 y 8 de Wheeler, 1990; cf. 2,6 en la casilla Thorne, 1994. Una introducción utilizando sólo matemáticas muy simples se da en el capítulo 19 de Schutz, 2003.
↑ Lo más importante son las soluciones que figuran en cada libro de texto sobre la relatividad general; para ver un resumen técnico de la comprensión actual del tema, ver Friedrich, 2005.
↑ More precisely, these are VLBI measurements of planetary positions; see chapter 5 of Will, 1993 and section 3.5 of Will, 2006.
↑ von Soldner, JG. «Unknown title». Berliner Astr. Jahrb. 1804: pp. 161–?.
↑ For the historical measurements, see Hartl, 2005 and Kennefick, 2005; for the most precise measurements to date, see Bertotti, 2005.
↑ Ver el artículo de la Wikipedia en inglés, todavía por traducir: http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_age_of_general_relativity
↑ Schutz, 2003, pp. loc. 317-321, Bartusiak, 2000, pp. loc. 70-86.
↑ La actual búsqueda de ondas gravitatorias se describe vívidamente en Bartusiak, 2000 y Blair y McNamara, 1997.
↑ La geometría de este tipo de situaciones se explora en el capítulo 23 de Schutz, 2003.
↑ Introducciones a lentes gravitacionales y sus aplicaciones se pueden encontrar en las páginas web Newbury, 1997 y Lochner, 2007.
↑ Para una visión general de la historia de la física agujero negro desde sus inicios a principios del siglo XX hasta los tiempos modernos, ver el muy legible cuenta de Thorne, 1994. Para una puesta al día en cuenta el papel de los agujeros negro en la formación de estructura, ver Springel et al., 2005; un breve resumen se puede encontrar en el artículo relacionado Gnedin, 2005.
↑ Véase el capítulo 8 de Sparke y Gallagher, 2007 y Disney, 1998. Un tratamiento que es más profundo y, sin embargo, supone sólo comparativamente poco las matemáticas pueden encontrarse en Robson, 1996.
↑ una introducción elemental a la singularidad agujero negro teoremas se pueden encontrar en Chrusciel, 2006 y Thorne, 1994, pp. loc. 272-286.
↑ La información detallada se puede encontrar en Ned Wright's Cosmology Tutorial y preguntas más frecuentes, Wright, 2007; una introducción completa es Hogan, 1999. El uso de pregrado, pero evitando las herramientas matemáticas avanzadas de la relatividad general, Berry, 1989 ofrece una presentación más a fondo.
↑ El documento original de Einstein es Einstein, 1917; buenas descripciones de los acontecimientos más modernas se pueden encontrar en Cowen, 2001 y Caldwell, 2004.

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